The Fundamental Relationship Between Sample Mass and Sampling Variance in Real Geological Samples and Corresponding Statistical Models

Exploration and Mining Geology, Vol. 16, No. 1-2, 2007

C.R. Stanley

Abstract In mineral exploration and mining applications, it is sometimes necessary to reduce sampling error in order to improve representivity of individual sample assays. Historic efforts to reduce sampling error have relied on the belief that larger samples exhibit less sampling error. Justifications for this belief traditionally have coupled the binomial theorem with an ideal geological material consisting of ore and gangue particles of equal size and shape (an equant grain model) and empirical tests of geological materials, to illustrate an inverse relationship between sample size and sampling variance. To date, no proof exists of this sample size–sampling variance relationship in real geological materials exhibiting variations in grain size, shape, composition, and degree of liberation.

Using first principles calculus and the formula for the mean, sample mass and sampling variance are proven to be inversely proportional in all geological materials. Distribution assumptions and physically ideal geological models are not used in this proof. Furthermore, algebraic manipulations of expressions describing the variances of equant grain models consistent with binomial, hypergeometric, and Poisson distributions reveal that these models also exhibit an inverse sample size–sampling variance relationship. Thus, the sampling behaviors of these models are numerically consistent with the sampling behaviors of real geological materials, and these models can be used to estimate sampling errors in real geological materials using simple sampling parameters.
Keywords: Sampling error, sample mass, binomial distribution, hypergeometric distribution, Poisson distribution, equant grain model
Résumé En exploration minérale et en production minière, il est quelquefois nécessaire de réduire l’erreur d’échantillonnage afin d’améliorer la représentativité des analyses d’échantillons individuels. Les tentatives historiques de réduction de l’erreur d’échantillonnage reposaient sur la croyance que des échantillons de plus grande taille possèdent une erreur d’échantillonnage moindre. Les justifications traditionnelles de cette croyance découlaient de l’application du théorème binomial à un matériel géologique idéalisé constitué de particules de minerai et de gangue de taille et de forme similaires (un modèle équigranulaire), et d’essais empiriques sur des matériaux géologiques, pour illustrer une relation inverse entre la taille de l’échantillon et la variance de l’échantillonnage. Il n’existe à ce jour aucune preuve que cette relation entre la taille de l’échantillon et la variance de l’échantillonnage est valide dans des matériaux géologiques réels dont les constituants présentent des variations granulométriques, géométriques, compositionnelles et de degré de libération.

Il est possible de démontrer à partir d’algèbre élémentaire et de l’équation de la moyenne que la masse de l’échantillon et la variance de l’échantillonnage sont inversement proportionnels dans tous les matériaux géologiques. Cette preuve ne fait pas appel aux assomptions quand à la distribution ou à un modèle géologique physique idéal. De plus, la manipulation algébrique d’expressions décrivant la variance de modèles équigranulaires possédant des distributions binomiales, hypergéométriques, et Poisson montre aussi une relation inverse entre la taille de l’échantillon et la variance de l’échantillonnage. Ainsi, le comportement à l’échantillonnage de ces modèles est mathématiquement similaire au comportement à l’échantillonnage de vrais matériaux géologiques, et ces modèles peuvent être utilisés pour estimer les erreurs d’échantillonnage dans de vrais matériaux géologiques par le biais de paramètres d’échantillonnage simples.